台南市私立南光高級中學科學班 - 質數判別與數論探索系統

單數質數檢驗與數論分析

輸入任意正整數（支援 BigInt 極大數），選擇演算法並即時分析其質數屬性與數論特徵。

輸入正整數 $N$

檢驗演算法選擇

南光精選範例：

判定結果

質數 (Prime Number)

演算法耗時： 0.045 ms

測試極限開方值 $\lfloor\sqrt{N}\rfloor$： 323

進行迴圈/測試次數： 108 次

數論結構特徵

質因數分解 (Prime Factorization)：

104729 (本身為素數)

正因數總個數 $d(n)$

2 個

歐拉函數 $\phi(n)$

104728

若為質數，恰好有 2 個正因數（1 與其本身）。

相鄰質數對 (Neighboring Primes)

前一個質數

104711

當前輸入 $N$

104729

後一個質數

104743

質數間隙 (Prime Gap) = 16

科學班微課堂：演算步驟與推導剖析

埃拉托斯特尼篩法 (Sieve of Eratosthenes) 視覺化

動態觀察公元前 3 世紀古希臘數學家提出的經典質數篩選流程，理解倍數劃去機制。

上限 $N$:

動畫速度：

未處理

當前測試質數 $p$

已確認質數

已劃去合數

準備就緒，請點擊「開始演示」發現質數：0 個

1. 開方測試原理與 $6k \pm 1$ 定理

【定理一：開方邊界 $\lfloor\sqrt{N}\rfloor$】

若正整數 $N$ 為合數，則必存在至少一個質因數 $p$ 滿足 $2 \le p \le \sqrt{N}$。

證明（反證法）：若 $N = a \times b$，且 $a > \sqrt{N}$ 且 $b > \sqrt{N}$，
則 $a \times b > \sqrt{N} \times \sqrt{N} = N$，產生矛盾。得證！

【定理二：$6k \pm 1$ 質數特徵】

除了 2 與 3 外，所有質數都可以表示為 $6k+1$ 或 $6k-1$ ($6k+5$) 的形式。

說明：任意整數除以 6 的餘數可能為 0, 1, 2, 3, 4, 5。
• $6k, 6k+2, 6k+4$ 為偶數（可被 2 整除）
• $6k+3$ 可被 3 整除
故大於 3 的質數必落於 $6k+1$ 或 $6k+5$。

2. 質數定理 (Prime Number Theorem)

設 $\pi(x)$ 表示不大於 $x$ 的質數總個數。高斯 (Gauss) 與勒讓德 (Legendre) 提出質數定理：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln x}} = 1$$

這代表當 $x$ 很大時，不超過 $x$ 的質數個數大約為 $\frac{x}{\ln x}$，隨機抽中質數的機率約為 $\frac{1}{\ln x}$。

【演算法時間複雜度對比】

基礎試除法：$O(N)$
開方試除法：$O(\sqrt{N})$
埃氏篩法：$O(N \log \log N)$
Miller-Rabin 素性測試：$O(k \log^3 N)$

質數計數函數 $\pi(x)$ 與漸近擬合 $\frac{x}{\ln x}$ 實測對比

透過圖表直觀感受質數分佈密度隨著數值擴大的漸近規律。